Resistência ao Escoamento em Navios

A partir da análise dimensional e considerando algumas simplificações, a resistência ao escoamento de um navio na água é dada por:

Onde ρ é a massa específica da água [kg.m-3], é a velocidade de deslocamento do navio [m.su-1], é o comprimento do navio na linha de água [m], Re é o número de Reynolds e lFr é o número de Froude.
A semelhança das forças viscosas (representadas pelo Re) e a semelhança das forças de gravidade (representadas por Fr) não podem ser observadas de forma simultânea. Portanto, faz-se a suposição de que a resistência ao escoamento de um navio é a soma de três parcelas distintas:
a) Resistência devido à geração de ondas;
b) Arrasto viscoso;
c) Arrasto devido à formação de turbilhões.
Admite-se que a parcela (a) não é influenciada pela viscosidade (independe de Re). A parcela (c) não é simples de se avaliar, mas sabe-se que possui pouca influência de Re. Portanto, aglutinam-se as parcelas (a) e (c).
Desta forma, F é a soma de duas funções, uma dependente de Reynolds e outra dependente de Froude:

Onde f1 é a força de arrasto viscoso e f2 é chamada de resistência residual.

fonte http://www.demec.ufmg.br

Exemplo prático

Semelhança Incompleta entre o Modelo e o Protótipo de uma fragata
Os testes em um modelo de navio, em escala 1:80, indicaram que o escoamento apresentou-se laminar (deveria ser turbulento). Isto ocorreu porque não foi possível atender a igualdade do número de Reynolds (situação do problema 1, discutido anteriormente). O fato da não coincidência dos regimes de escoamento faz com que haja uma grande discrepância das espessuras das camadas limite e, por conseqüência, do coeficiente de arrasto hidrodinâmico. Para que fosse possível a estimativa da resistência viscosa, a partir do Modelo, foi necessário o uso de um artifício.
Da teoria da Camada Limite, estimou-se a espessura da camada limite ao longo do casco do navio (Protótipo). Considerando-se a redução da escala, estimou-se a espessura da camada limite no Modelo. Como o escoamento no Modelo era laminar, perturbou-se a camada limite de forma a atingir a espessura que garantisse similaridade geométrica com o Protótipo. Esta perturbação foi realizada acrescentando-se protuberâncias ao longo do Modelo.
Ao assumir que existe semelhança dinâmica quando há semelhança geométrica entre a espessura da camada limite do Modelo e do Protótipo, foi possível estimar o coeficiente de arrasto hidrodinâmico do navio em estudo.
Para se avaliar o impacto do regime de escoamento no coeficiente de arrasto hidrodinâmico, observe os dados obtidos a partir do modelo com a camada limite não perturbada (à esquerda) e com a camada limite perturbada (à direita).

fonte Livro Fox & MacDonald (5ª Ed.).

Estudo de Modelos

Uma vez determinadas a importância dos números adimensionais e a metodologia para sua determinação em um problema físico, pode-se estudar como estes números (ou grupos) adimensionais podem ser utilizados para a prática de engenharia.
O teorema dos Pi de Buckingham torna possível determinar quais são os grupos adimensionais importantes para o problema e predizer a relação funcional entre eles.
Considere o caso onde foram determinados 2 parâmetros adimensionais, relacionados pela seguinte equação funcional:

A semelhança dinâmica entre modelo e protótipo (objeto em escala real), geometricamente semelhantes, ocorrerá se:

Neste caso, esta igualdade garante que:

As grandes dificuldades surgem quando o problema físico apresenta 3 ou mais grupos adimensionais. Considerando um problema com 3 números adimensionais:

Para se ter:

É necessário garantir que as seguintes situações ocorrerão simultaneamente:

Em muitas situações práticas não é possível atender as equações acima simultaneamente. Porém, a natureza intrépida de um(a) engenheiro(a) não impede que, ainda nestas situações, o problema físico seja analisado.
Nestas situações, conhecidas como Semelhança Incompleta, depara-se com problemas intrínsecos da mudança de escala. No caso da análise de escoamentos, a redução da escala entre modelo e protótipo é responsável por duas situações muito comuns:
1. Em casos de escoamento de água com superfície livre, pode não ser possível compatibilizar a exigência da igualdade de número de Reynolds e de número de Froude. Como, geralmente, a água é o líquido mais conveniente para a realização destes testes, a garantia de semelhança geométrica pode levar a adoção de velocidades no modelo que faça com que o regime de escoamento torne-se laminar, enquanto o protótipo opera em regime turbulento;
2. A rugosidade relativa ε/L pode não ser possível de ser atendida no modelo. Uma vez que L do modelo é reduzida, a rugosidade superficial requerida pode tornar-se impossível de ser atingida.

fonte http://www.demec.ufmg.br

Determinação dos Grupos Pi

Geralmente, a determinação dos grupos adimensionais segue um roteiro descrito a seguir:
PASSO 1: Liste todos os parâmetros envolvidos. Define-se n como o número de parâmetros envolvidos;
PASSO 2: Expresse estes parâmetros em termos das dimensões primárias. Define-se r como o número de dimensões primárias presentes no problema;
PASSO 3: Selecione da lista um número r de parâmetros que, em conjunto, incluam todas as dimensões primárias. Tome cuidado para que estes parâmetros não sejam linearmente dependentes. Existe a possibilidade de não ser possível selecionar r parâmetros independentes. Neste caso, o número de parâmetros independentes, m, deve ser considerado ao invés de r;
PASSO 4: Estabeleça equações dimensionais combinando os parâmetros selecionados no passo anterior com cada um dos outros parâmetros para formar grupos adimensionais. Geralmente, o número de equações dimensionais é igual ao número de parâmetros menos o número de dimensões primárias presentes no problema (n-r), a não ser que r ≠ m. Neste caso, o número de equações dimensionais deverá ser (n-m);
PASSO 5: Resolva as equações para obter os grupos adimensionais;
PASSO 6: Verifique se cada grupo obtido é adimensional.

fonte http://www.demec.ufmg.br

Teorema dos Pi de Buckingham

Dado um problema físico no qual um parâmetro de interesse é uma função de n-1 parâmetros independentes, é possível escrever a seguinte relação:

Pode-se expressar esta mesma relação de uma forma alternativa:

O Teorema dos Pi de Buckingham declara que dada uma relação entre n parâmetros da forma da Eq.(2), então, os n parâmetros podem ser agrupados em n-m razões independentes adimensionais, ou parâmetros Π, os quais podem ser expressos como segue:

fonte http://www.demec.ufmg.br

Análise dimensional

Alguns números adimensionais

Número de Ohnesorge
* É um número adimensional que relaciona as forças viscosas com a força de tensão superficial é definido como:

Número de Weber
* É muito utilizado na análise de escoamentos em filme e na formação de gotas e bolhas.
* Seu nome é uma homenagem a Moritz Weber (1871 – 1951)
* onde We é o número de Weber, d é a densidade do fluido, v sua velocidade, l é a extensão e ts a tensão superficial.

Número de Reynolds
* O seu nome é uma homenagem a Osborne Reynolds, um físico e engenheiro irlandês. O seu significado físico é um quociente de forças:
* forças de inércia (vñ) entre forças de viscosidade (µ/D).
É expresso como:

Número de Euler (cavitação)
* O número de Euler ou número de cavitação é um número adimensional usado no cálculo de escoamentos. Expressa a relação entre a diferença da pressão do escoamento com a pressão de vapor do fluido em escoamento pela energia cinética do mesmo e é usado para caracterizar a tendência do escoamento para
cavitar. Seu nome é uma homenagem a Leonhard Euler.
É definido como:

onde:
– p é a densidade do fluido
– p é a pressão local
– pv é a pressão de vapor do fluido
– V é uma velocidade característica do escoamento

Semelhança física

O termo SEMELHANÇA FÍSICA é um termo geral que envolve uma variedade de tipos de semelhança.

Semelhança Geométrica
Semelhança Cinemática
Semelhança Dinâmica

Semelhança Geométrica

Semelhança de forma. A propriedade característica dos sistemas geometricamente semelhantes (modelo e protótipo) é que a razão entre qualquer comprimento no modelo e o seu comprimento correspondente no protótipo é uma constante. Esta razão é conhecida como FATOR DE ESCALA.
A semelhança geométrica é o requisito mais óbvio para que um modelo possa corresponder a um dado protótipo.
Nem sempre é fácil obter a semelhança geométrica perfeita. Deve-se lembrar que não só a forma global do modelo tem que ser semelhante à do protótipo, como também a rugosidade das superfícies deveria ser geometricamente semelhantes.
Muitas vezes, a rugosidade de um modelo em escala reduzida não pode ser obtida de acordo com o fator de escala – problema de construção/de material/de acabamento das superfícies do modelo.
Exemplo: Estudo do movimento dos sedimentos nos rios. Um modelo em escala pode exigir o uso de um pó excessivamente fino para representar o sedimento.
No caso de protótipos muito grandes, o recurso de modelos distorcidos (fator de escala diferentes entre os comprimentos na horizontal e na vertical) é inevitável.

Semelhança Cinemática

Semelhança cinemática é a semelhança do movimento, o que implica necessariamente semelhança de comprimentos (semelhança geométrica) e semelhança de intervalos de tempo.

Exemplo de semelhança cinemática: Planetário.
O firmamento é reproduzido de acordo com um certo fator de escala de comprimento e, ao copiar os movimentos dos planetas, utiliza-se uma razão fixa de intervalos de tempo e, portanto, de velocidades e acelerações.
Escoamentos que possuem semelhança cinemática, os padrões formados pelas linhas de corrente são geometricamente semelhantes.

Uma vez que as fronteiras do escoamento correspondem a linhas de correntes, só é possível obter escoamentos semelhantes, do ponto de vista cinemático, em fronteiras geometricamente semelhantes.
No entanto, esta condição não é suficiente para assegurar a semelhança geométrica dos padrões das linhas de corrente a uma distância significativa das fronteiras.

A semelhança geométrica nas fronteiras é uma condição necessária, mas não suficiente para haver semelhança cinemática dos escoamentos.

Semelhança Dinâmica

Semelhança Dinâmica é a semelhança das forças. Dois sistemas são dinamicamente semelhantes quando os valores absolutos das forças, em pontos equivalentes dos dois sistemas, estão numa razão fixa.
As forças que determinam o comportamento dos fluidos têm várias origens:

fonte http://www.demec.ufmg.br

primeira avaliação

Oi Grupo Fenomenais,

O Blog de vocês ficou Muito Bom. Vocês abordaram o assunto, diversificaram, e colocaram filmes. Embora tenham algumas postagens fora do prazo estipulado.   Senti falta de uma pesquisa de equipamentos comerciais para medição da viscosidade. A avaliação é composta pela avaliação no trabalho e pela participação. De modos que podem haver notas diferentes em um mesmo grupo. Continuem assim no proximo assunto.

Prof. Angela

Exemplos de Números Adimensionais

Existe una grande quantidade de números adimensionais. A seguir são listados alguns dos mais utilizados.

Nome	Campo de aplicação
Número de Abbe	óptica (dispersão em materiais ópticos)
Número de Arquimedes	movimento de fluidos devido a diferenças de densidade
Número de Bagnold	fluxo de grãos, areia, etc.
Número de Biot	condutividade superficial vs. volumétrica de sólidos
Número de Bodenstein	distribuição do tempo de residência
Número de Bond	força capilar devido à flotação
Número de Brinkman	transferência de calor por condução entre uma superficie e um líquido viscoso
Número de Brownell Katz	combinação do número de capilaridade e o número de Bond
Número de Capilaridad	fluxo devido à tensão superficial
Número de Courant-Friedrich-Levy	resolução numérica de equações diferenciais
Número de Damköhler	escala de tempo de uma reação química vs. o fenômeno de transporte
Número de Dean	vórtices em tubulações curvas
Número de Deborah	reologia dos fluidos viscoelásticos
Número de Eckert	transferência de calor por convecção
Número de Ekman	geofísica (forças de atrito por viscosidade)
Número de Eötvös	determinação da forma da gota
Número de Euler	hidrodinâmica (forças de pressão vs. forças inerciais)
Número de Foppl-von Karman	Flambagem de cascas delgadas
Número de Fourier	transferência de calor
Número de Fresnel	difração
Número de Froude	forças inerciais vs. gravitacionais em fluidos
Número de Galilei	fluxo viscoso devido à gravidade
Número de Graetz	fluxo de calor
Número de Grashof	convecção natural
Número de Hagen	convecção forçada
Número de Karlovitz	combustão turbulenta
Número de Knudsen	aproximação do contínuo em fluidos
Número de Laplace	convecção natural em fluidos miscíveis
Número de Lewis	difusão molecular vs. difusão térmica
Número de Mach	dinâmica dos gases (velocidade do gás vs. velocidade do som)
Número de Reynolds magnético	magneto-hidrodinâmica
Número de Marangoni	Fluxo de Marangoni
Número de Morton	determinação da forma da gota
Número de Nusselt	transferência de calor com convecção forçada
Número de Ohnesorge	atomização de líquidos, fluxo de Marangoni
Número de Péclet	problemas de advecção–difusão
Número de Peel	adesão de microestruturas sobre substratos
Número de Prandtl	convecção forçada e natural
Número de Rayleigh	forças de flotação e viscosas em convecção natural
Número de Reynolds	forças de inércia vs. viscosas em fluidos
Número de Richardson	efeito da flotação na estabilidade dos fluxos
Número de Rossby	forças inerciais em geofísica
Número de Schmidt	dinâmica de fluidos (transferência de massa e difusão)
Número de Sherwood	transferência de massa e convecção forçada
Número de Sommerfeld	lubrificação de bordas
Número de Stanton	transferência de calor com convecção forçada
Número de Stefan	transferência de calor durante mudanças de fase
Número de Stokes	dinâmica da partícula
Número de Strouhal	fluxos contínuos e pulsantes
Número de Taylor	fluxos rotacionais
Número de Weber	fluxos multifásicos sobre superficies curvas
Número de Weissenberg	fluxos viscoelásticos
Número de Womersley	fluxos contínuos e pulsante